Własny silnik graficzny. Część IV: krwawienie kolorów i miękkie cienie.
30.11.2010 - Robert Kraus
Pod niewielkimi zmianami w kodzie kryje się trochę matematyki. Dowiemy się teraz dlaczego to, co zrobiliśmy, działa. Całkowanie Niespodzianka, a teraz nauczymy się całkować. Interesować nas będzie geometryczna interpretacja całki, która mówi, że (czyt. całka z funkcji na odcinku ) jest równa polu pod wykresem funkcji , jeśli przyjmuje ona wartości wyłącznie nieujemne. Przyjrzyjmy się kilku przykładom. Przykład 1 Niech . Zauważmy, że na odcinku pole pod wykresem funkcji jest równe polu prostokąta, którego jeden bok ma długość , a drugi ma długość . A więc:
Przykład 2 Niech . Zauważmy, że na odcinku pole pod wykresem funkcji jest równe połowie pola kwadratu o boku . A więc:
Przykład 3 Niech teraz funkcja , będzie taka jak na poniższej ilustracji. W przypadku takiej funkcji pojawia się problem ("gołym okiem" niezbyt widać ile wynosi pole pod wykresem takiej funkcji). Teraz poradzimy sobie całkowaniem stochastycznym.
Całkowanie stochastyczne Całkowanie stochastyczne polega na oszacowaniu (przybliżeniu) wartości całki w sposób losowy. Konstruujemy coś, co będzie przybliżało wartość interesującej nas całki (będzięmy to nazywać estymatorem). Estymator zdefiniowany jest następująco: Na początek oswoimy się z pojęciem rozkładu. Intuicyjnie rozkład warunkuje to, w których miejscach dziedziny funkcji punkty będą losowane z większym prawdopodobieństwem, a w których z mniejszym (co skutkuje tym, że jak wylosujemy przykładowo 100 punktów, to w jednych obszarach dziedziny mogą powstawać gęstsze skupiska punktów, a w innych punkty będą występować sporadycznie).
Na powyższej ilustracji widać przykład dwóch rozkładów. Wylosowano 16 punktów na odcinku. W rozkładzie jednostajnym punkty rozkładają się na odcinku równomiernie (tj. nie mają wyraźnej tendencji do grupowania się tylko w pewnych miejscach). Natomiast w rozkładzie niejednostajnym punkty mogą sie grupować tak jak na ilustracji na końcach odcinka oraz rzadko występować w okolicy jego środka. Skupimy sie teraz na rozkładzie jednostajnym. Z rozkładem związane jest pojęcie gęstości. Detale teoretyczne takie jak wyprowadzanie gęstości dla konkretnego rozkładu oraz czym dokładnie jest gęstość wybiegają nieco poza poziom trudności tego artykułu, więc funkcje gęstości dla rozkładów bedą podawane jako fakty, w które należy uwierzyć bez dowodu. Dla rozkładu jednostajnego funkcja gęstości jest równa odwrotności długości odcinka, bądź polu lub objętości zbioru, z którego losujemy punkty. Przykładowo dla odcinka długości 10 funkcja gęstości to , a dla prostokąta o polu 25 funkcja gęstości to .
Przekonajmy się, że to wszystko rzeczywiście działa. Wrócmy do przykładu nr 1 całkowania. Mamy funkcję na pewnym przedziale . Z przykładu nr 1 pamiętamy, że:
Sprawdźmy teraz co się dzie w przypadku przykładu nr 2 całkowania. Mamy funkcję na przedziale . Pamiętamy, że: (4 ocen) |
Copyright © 2008-2010 Wrocławski Portal Informatyczny
design: rafalpolito.com