Prawdopodobieństwo warunkowe i algorytm, który zadziwi Twoją panią od polskiego

15.06.2010 - Krzysztof Dryś
TrudnośćTrudnośćTrudność

Rzuty monetą dla średnio-zaawansowanych

Spróbujmy czegoś trudniejszego. Jaś znowu będzie rzucał monetą. Tylko, że tym razem będzie ją zmieniał co jeden rzut. Innymi słowy, po każdym rzucie będzie losował, czy następnym razem będzie rzucał tą samą monetą, czy inną. Żeby łatwiej było nam to zrozumieć, zapiszmy całość jako algorytm:

1
2
3
4
5
6
m = losowa moneta
Dla i = 1...T
 Rzuć monetą m
 Wylosuj monetę:
  Z prawdopodobieństwem p[m,1] wybierz pierwszą monetę
  Z prawdopodobieństwem p[m,2] wybierz drugą monetę  

Dane wejściowego tego algorytmu, to:

  • Dwie monety, wraz z tablicami prawdopodobieństwa wyrzucenia orła i reszki każdą z monet
  • Tablica p, w której $ p[i,j] $ określa prawdopodobieństwo tego, że w następnej turze Jaś będzie korzystał z monety $ j $ pod warunkiem tego, że teraz korzysta z monety $ i $

Nasz model się zmienił. Teraz Jaś może zmienić monetę po każdym rzucie. Teraz spróbujemy odpowiedzieć na następujące pytania:

  • Jakie jest prawdopodobieństwo, że Janek wyrzuci 2 reszki?
  • Jaś wyrzucił 2 orły i 2 reszki. Jaki jest najbardziej prawdopodobny ciąg monet, którymi rzucał?

Zacznijmy od pierwszego pytania. Niech $ m_1=i, m_2=j $, oznacza że najpierw Jaś skorzystał z monety $ i $, a potem z monety $ j $. Wtedy:

$$ 
\begin{array}{rclc}
P(\mbox{2 reszek}) & = & P( \mbox{ 2 reszek } | m_1=1, m_2=1) P(m_1=1, m_2=1) &+\\
     &  &  P( \mbox{ 2 reszek } | m_1=1, m_2=2) P(m_1=1, m_2=2)  &+\\
     &  &  P( \mbox{ 2 reszek } | m_1=2, m_2=1) P(m_1=2, m_2=1)  &+\\
     &  &  P( \mbox{ 2 reszek } | m_1=2, m_2=2) P(m_1=2, m_2=2)  &\\
\end{array}
$$
Pozostaje nam tylko policzyć $ P(m_1 = i, m_2 = j) $. Można to wyznaczyć jako:
$$P(m_1 = i, m_2 = j) = P(m_1 = i) \cdot P(m_2 = j | m_1 = i) = P(m_1 = i) p[i,j]$$
To pozwala nam zapisać ostateczny wzór:
$$ 
\begin{array}{rclc}
P(\mbox{2 reszek}) & = & P( \mbox{ 2 reszek } | m_1=1, m_2=1) P(m_1 = 1) p[1,1]  &+\\
     & &  P( \mbox{ 2 reszek } | m_1=1, m_2=2) P(m_1 = 1) p[1,2]   &+\\
     & &  P( \mbox{ 2 reszek } | m_1=2, m_2=1) P(m_1 = 2) p[2,1]  &+\\
     & &  P( \mbox{ 2 reszek } | m_1=2, m_2=2) P(m_1 = 2) p[2,2]  &\\
\end{array}
$$
Jako odpowiedź na pierwsze pytanie dostaliśmy dosyć skomplikowany wzór. Żeby policzyć liczbową wartość musielibyśmy dowiedzieć się jakie są rozkłady prawdopodobieństw monet i jakie wartości są w tablicy $ p $.

5
Twoja ocena: Brak Ocena: 5 (1 ocena)

Copyright © 2008-2010 Wrocławski Portal Informatyczny

design: rafalpolito.com