Prawdopodobieństwo warunkowe i algorytm, który zadziwi Twoją panią od polskiego

15.06.2010 - Krzysztof Dryś
TrudnośćTrudnośćTrudność

Wzory w działaniu

Do czego może się przydać prawdopodobieństwo warunkowe? Popatrzmy na pierwszy przykład. Wyobraźmy sobie, że Jaś ma dwie monety. Pierwsza jest sprawiedliwa:

$$P( \mbox{orzeł}|\mbox{pierwsza moneta} ) = P( \mbox{reszka}|\mbox{pierwsza moneta} ) = {1 \over 2}$$
Za to druga jest źle wyważona:
$$P( \mbox{orzeł}|\mbox{druga moneta} ) = {1 \over 4}$$
$$P( \mbox{reszka}|\mbox{druga moneta} ) = {3 \over 4}$$
Janek przeprowadza następujące doświadczenie. Najpierw losowo wybiera monetę (każdą z prawdopodobieństwem jedna druga). Potem wybraną monetą rzuca 4 razy.

My poszukamy odpowiedzi na następujące pytania:

  • Jakie jest prawdopodobieństwo, że Janek wyrzuci 4 reszki?
  • Załóżmy, że Janek wyrzucił 4 reszki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że korzystał z pierwszej monety?

Żeby odpowiedzieć na pierwsze pytanie wystarczy skorzystać z jednego ze wcześniejszych wzorów. Skorzystamy z następujących oznaczeń:

  • $ A $ = Janek wyrzucił 4 reszki,
  • $ B_1 $ = Janek wylosował pierwszą monetę,
  • $ B_2 $ = Janek wylosował drugą monetę,
W ten sposób uzyskamy następujący wzór:
$$ 
\begin{array}{rcl}
P(A) & = & P(A|B_1) P(B_1) + P(A|B_2) P (B_2) \\
     & = &  ( P( \mbox{reszta}|\mbox{pierwsza moneta} ) )^4 P(\mbox{pierwsza moneta}) + \\
	 &   & ( P( \mbox{reszta}|\mbox{druga moneta} ) )^4 P(\mbox{druga moneta})
\end{array}
$$
Można go przekształcić do następującej postaci:
$$P(A) = {1 \over 2}^4 \cdot {1 \over 2 } + {3 \over 4}^4 \cdot {1 \over 2}$$

Udało nam się odpowiedzieć na pierwsze pytanie! Jak zabrać się za drugiego? Musimy policzyć $ P(B_1|A) $ oraz $ P(B_2|A) $, czyli prawdopodobieństwa tego, że Jaś rzucił pierwszą [albo drugą] monetą, pod warunkiem, że wyrzucił cztery reszki. Jak to zrobić?

Wiemy, że $ P(B_1|A) = {P(B_1 \cap A) \over P(A)} $ oraz $ P(A|B_1) = P(B_1 \cap A) \over P(A) $. Korzystając z tych dwóch wzorów możemy policzyć, że:

$$P(B_1|A) = P(A|B_1) { P(A) \over P(B_1) } = P(A) \cdot {1\over 2}^3 \approx 0.125 P(A)$$
W podobny sposób można policzyć, że:
$$P(B_2|A) = P(A|B_2) { P(A) \over P(B_2) } = P(A) \cdot 2 \cdot {3 \over 4}^3 \approx 0.63 P(A)$$
Nie umiemy z całkowitą pewnością odpowiedzieć, którą monetą rzucał Jaś. Umiemy za to powiedzieć, że to że rzucał drugą monetą jest dużo bardziej prawdopodobne. Ta idea będzie nam towarzyszyła przez cały artykuł: będziemy zadawali pytania i będziemy wybierali tę odpowiedź, którą będzie się nam wydawała najbardziej prawdopodobna.

5
Twoja ocena: Brak Ocena: 5 (1 ocena)

Copyright © 2008-2010 Wrocławski Portal Informatyczny

design: rafalpolito.com