Prawdopodobieństwo warunkowe i algorytm, który zadziwi Twoją panią od polskiego

15.06.2010 - Krzysztof Dryś
TrudnośćTrudnośćTrudność

Jak działa artykuł z poprzedniej strony? Żeby odpowiedzieć sobie na to pytanie musimy dowiedzieć się paru rzeczy o prawdopodobieństwie.

Wyobraźmy sobie, że mamy idealna kostkę 6-ścienną. Jakie jest prawdopodobieństwo, że rzucając nią wyrzucimy jedynkę, dwójkę lub trójkę? To proste:

$$ P( \mbox{wypadło 1,2 lub 3 } ) = {1 \over 2 }$$

Spróbujmy czegoś trochę trudniejszego. Wyobraźmy sobie, że rzuciliśmy kostką i poprosiliśmy naszego kolegę Jasia, żeby odczytał za nas wynik. Jaś to dobry chłopak, tylko trochę złośliwy. Dlatego zdecydował, że nie powie nam, co wypadło. Zamiast tego, wyjawił nam, że wypadła liczba nieparzysta. Jakie teraz jest prawdopodobieństwo, że wypadła jedynka, dwójka lub trójka?

$$ P( \mbox{ wypadło 1,2 lub 3 pod warunkiem tego, że wypadła liczba nieparzysta } ) = {2 \over 3} $$

Prawdopodobieństwo warunkowe opisuje właśnie prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A pod warunkiem zajścia zdarzenia B. W naszym przykładzie:

  • A = wypadło 1, 2 lub 3
  • B = wypadła liczba nieparzysta.
Prawdopodobieństwo warunkowe oznacza się jako $ P(A|B) $. Można je policzyć w bardzo prosty sposób:
$$P(A|B) = {P(A \cap B) \over P(B)}$$
W tym wzorze $ P(A \cap B) $ oznacza prawdopodobieństwo tego, że zaszło zdarzenie A oraz zdarzenie B. W naszym wypadku:
  • $ A \cap B $ = wypadło 1,2 lub 3 oraz wypadła liczba nieparzysta = wypadło 1 lub 3
  • $ P(A \cap B) = {1 \over 3} $

Popatrzmy na jeszcze jedną ciekawą cechę prawdopodobieństwa warunkowego. Niech zdarzenia $ B_1, B_2 \ldots B_n $ będą takie, że:

  • $ B_i \cap B_j = \emptyset $, dla $ i\neq j $, to znaczy te zbiory są rozłączne,
  • $ P(B_1 \cup B_2 \cup \ldots \cup B_n) = 1 $, to znaczy - zawsze musi zajść przynajmniej jedno z nich.
Wtedy:
$$P(A) = \sum\limits_i P(A | B_i) P(B_i) $$

5
Twoja ocena: Brak Ocena: 5 (1 ocena)

Copyright © 2008-2010 Wrocławski Portal Informatyczny

design: rafalpolito.com