Liczenie po chińsku, czyli ilu jest policjantów?

13.08.2009 - Agata Murawska
TrudnośćTrudność

Przyjrzyjmy się bliżej pierwszej zagadce. Wiemy, że policjanci mieli być ustawiani do defilady w równych szeregach. To oznacza, że cała grupa, jeśli patrzeć na nią z góry tworzyć miała tworzyć prostokąt. Nie udawało się ustawić ich w taki sposób, gdyż zawsze ktoś zostawał.
Oznaczmy liczbę policjantów przez $ N $ i przypomnijmy treść zadania(**):

  • "Próbowano ustawić ich po 9 w szeregu, ale zostawało 5"
    $ N = 9 * k_9 + 5 $
  • "Na niewiele zdało się też ustawianie ich piątkami - pozostawał wtedy jeden stróż prawa"
    $ N = 5 * k_5 + 1 $
  • "Także długa defilada idąca parami pozostawiała za sobą jedną osobę."
    $ N = 2 * k_2 + 1 $

Ponieważ nie wiemy, ile szeregów było pełnych, wprowadźmy oznaczenie, które usunie $ k $ z równań:

$ N \equiv_9 5 $
$ N \equiv_5 1 $
$ N \equiv_2 1 $

Cóż to za dziwny symbol? Pierwsze wyrażenie czytamy: "N przystaje do 5 modulo 9". $ \equiv_9 $ to właśnie to "modulo 9" oznaczające, jaką resztę otrzymamy dzieląc N przez 9. Równania takie, jak te powyżej, będziemy od teraz nazywać równaniami modulo (można też określać je, nieco bardziej naukowo, kongruencjami).

Mając trzy równania modulo dane w zagadce możemy przystąpić do szukania rozwiązania. Na razie nie bardzo widać, jak rozwiązać taki układ równań, więc zaatakujemy problem brutalnie - sprawdzając możliwe liczby, dające odpowiednie reszty.

Wiemy, że policjantów było nie więcej, niż 90. Weźmy wszystkie liczby z przedziału [1, 90], które podzielone przez 9 dadzą resztę 5:

Teraz usuńmy te wartości, które przy dzieleniu przez 5 dają resztę różną od 1:

Wreszcie,  bliscy rozwiązania, pozostawmy tylko liczby nieparzyste:

Otrzymaliśmy odpowiedź – w paradzie brało udział 41 policjantów. Czy to przypadek, że rozwiązanie jest dokładnie jedno? Okazuje się, że nie.


(**) Czy widzisz, czym są $ k_9 $, $ k_5 $ i $ k_2 $? Mają one pewien związek z polem prostokąta.

4
Twoja ocena: Brak Ocena: 4 (2 ocen)

Copyright © 2008-2010 Wrocławski Portal Informatyczny

design: rafalpolito.com