Sieci neuronowe: czego można się nauczyć bez nauczyciela?

22.09.2012 - Patryk Filipiak
TrudnośćTrudnośćTrudność

Pomiar odległości

Do znajdowania najbliższych sąsiadów niezbędny jest pewien sposób pomiaru odległości pomiędzy nimi. Pomiar taki jest niezwykle prosty w przestrzeni jednowymiarowej (tzn. na prostej). Odległość zazwyczaj oznaczamy symbolem d (od ang. distance).

euclid_1d

W przestrzeni dwuwymiarowej (tzn. na płaszczyźnie) musimy się już posłużyć twierdzeniem Pitagorasa. Odległość od dowolnego punktu A do punktu B wyznaczymy jako pierwiastek sumy kwadratów odpowiednich długości boków.

euclid_2d

Pomiar odległości ma tę ciekawą własność, że jest stosunkowo łatwy, nawet w przestrzeniach o wyższych wymiarach.
Przykładowo: w przestrzeni 3-wymiarowej odległość z A do B byłaby równa pierwiastkowi z wyrażenia x2 + y2 + z2, w przestrzeni 4-wymiarowej - x2 + y2 + z2 + t2, itd. Pytanie tylko, czy ma sens zastanawianie się nad odległościami w przestrzeni 4-wymiarowej, skoro nikt nie jest nawet w stanie sobie takiej przestrzeni wyobrazić? Nauka pokazuje, że istnieją obiekty takiej przestrzeni, a nawet przestrzeni o znacznie wyższych wymiarach. Nie ma tu wcale mowy o żadnych nadużyciach czy sloganach reklamowych, jak choćby popularne kino 4D czy nawet 5D.


Eksperyment

Wyobraźmy sobie na przykład, że każdego dnia, w ramach eksperymentu, wykonujemy pomiar temperatury powietrza za oknem. Pomiarów dokonujemy zawsze w tych samych godzinach, np. o 6:00, 12:00, 18:00 i o północy. Pewnego letniego dnia termometr wskazał: 17.2 stopni Celsjusza o szóstej rano, 28.5oC w południe, 26.1oC o godzinie osiemnastej oraz 19.7oC o północy.
W notatkach dzień został przedstawiony w postaci czterech liczb (17.2, 28.5, 26.1, 19.7), spośród których żadna nie jest zbyteczna. To znaczy, że nasz pomiar dzienny jest punktem w przestrzeni 4-wymiarowej. Jeżeli w kolejnym dniu termometr wskazywał temperatury odpowiednio (18.6, 29.2, 27.3, 19.6), to choć nie umiemy tego przedstawić na żadnym wykresie, możemy przyjąć, że pomiary temperatury w tych dwóch dniach są punktami w przestrzeni 4-wymiarowej. Możemy także policzyć, że odległość między nimi równa jest pierwiastkowi z sumy (18.6-17.2)2 + (29.2-28.5)2 + (27.3-26.1)2 + (19.6-19.7)2, a to jest w przybliżeniu równe 1.975, co z kolei pozwala wyciągnąć wniosek, że dni te były do siebie stosunkowo podobne pod względem temperatury powietrza.

Dużo więcej informacji, na temat zmian temperatury powietrza w ciągu doby, uzyskalibyśmy, dokonując pomiaru co godzinę. Najprawdopodobniej wymagałoby to od nas zwrócenia się z prośbą o pomoc do przynajmniej jednego wspólnika, który zapisywałby wskazania termometru, podczas gdy my byśmy spali. Dzięki temu dysponowalibyśmy opisem doby, składającym się z 24 liczb. Mielibyśmy wówczas do czynienia z punktami w przestrzeni aż 24-wymiarowej. Mało tego, wykorzystując do pomocy komputer, moglibyśmy dokonywać pomiarów nawet co pięć minut, dzięki czemu operowalibyśmy punktami w przestrzeni 288-wymiarowej. Absolutnie nikt nie jest w stanie wyobrazić sobie tak wielowymiarowej przestrzeni. Mimo to, pomiar odległości w takiej przestrzeni jest wciąż stosunkowo prosty.

Rzut oka w czwarty wymiar

Informacja, że jakiś punkt (bez względu na to, czy reprezentuje on temperaturę czy cokolwiek innego) leży blisko innego punktu w przestrzeni 4-wymiarowej, jest dla nas stosunkowo mało pożyteczna (nie mówiąc już o punktach w przestrzeni 288-wymiarowej). W praktyce, aby dostrzec jakiekolwiek prawidłowości badanego zjawiska, najwygodniej jest posłużyć się wykresem. Problem w tym, że kartka papieru czy ekran monitora są elementami przestrzeni zaledwie 2-wymiarowej. Sporządzanie wykresów narzuca więc dość istotne ograniczenia, skoro przyjmujemy, że „słupki” nie mogą nam wystawać poza papier.

W takiej sytuacji z pomocą przychodzą nam mapy. Jeśli wyjedziemy na wakacje do zupełnie nowego miasta, możemy się po nim poruszać całkiem swobodnie, mając przed sobą jego plan. Z drugiej strony, nawet ze skrupulatnej analizy planu nie dowiemy się, które uliczki na starówce są strome, albo który budynek jest wyższy od pozostałych, przez co zasłania nam np. widok na góry lub morze.

Pewnego rodzaju mapą jest również poniższy rysunek.

cube

Przedstawia on bryłę widzianą z pewnej perspektywy. Domyślamy się, że jest to sześcian, choć w istocie nie możemy wiedzieć, co dokładnie znajduje się z drugiej, niewidocznej dla nas strony. Nie wiemy też, jakiego koloru są pozostałe ściany. Dysponujemy jedynie niepełnym zasobem informacji, jaki został nam dostarczony. Z całą pewnością wiemy, że figura zielona ma po jednej wspólnej krawędzi z figurą czerwoną i niebieską oraz to, że jest jeden wierzchołek wspólny dla wszystkich tych trzech figur. Analogiczne wnioski możemy snuć na temat pozostałych krawędzi i wierzchołków. W dalszym ciągu możemy pozwolić sobie na całkiem prawdopodobne przypuszczenia. Dopiero one, w połączeniu z wiedzą o perspektywie, pozwalają nam przypuszczać, że zielona ściana jest prostopadła do niebieskiej i czerwonej, czerwona do niebieskiej i zielonej itd. Zgadujemy natomiast, że gdybyśmy obrócili naszą bryłę o 180o, zobaczylibyśmy trzy kolejne ściany sześcianu.

Tak więc sporządzanie map pozwala nam przedstawić graficznie (w 2-wymiarowym świecie kartki papieru bądź ekranu komputera) fragmenty przestrzeni wyższego wymiaru, jednak musimy się pogodzić z faktem, że zostanie uwidoczniona tylko część informacji ponad wszelką wątpliwość. Co do pozostałych danych będziemy mogli jedynie snuć przypuszczenia czy wręcz zgadywać.

Prawdziwym przełomem było odkrycie, że nasz mózg również tworzy wiele niezwykle szczegółowych map. Wszelkie bodźce wzrokowe, czy nawet zapamiętywanie figur przestrzennych itp., realizowane są przy pomocy „płaskich” map, zaszytych w naszych głowach. Właśnie między innymi dlatego nasz wzrok czasem tak łatwo daje się zwieść. Nie możemy wprawdzie zafałszować tego, co ewidentnie przedstawione jest na mapie, ale miejsca, w których pojawiać się mogą domysły czy zgadywanie (np. perspektywa lub spektrum barw), stanowią już szerokie pole do popisu dla wszelkiego rodzaju iluzji i złudzeń optycznych.

0
Twoja ocena: Brak

Copyright © 2008-2010 Wrocławski Portal Informatyczny

design: rafalpolito.com